Его отец — Александр Борисович Арапов происходил из старинной дворянской семьи, мать – Елизавета Ивановна Арапова (Мерц), дочь известного архитектора Ивана Александровича Мерца и праправнучка изобретателя Ивана Петровича Кулибина.

В 1930 году окончил Ленинградскую консерваторию по классу сочинения профессора В.В. Щербачева. Народный артист РСФСР в течение ряда лет секретарь Союза композиторов СССР Б.А. Арапов много лет преподавал на кафедре композиции, возглавляя ее с 1974 по 1992 и воспитал целую плеяду советских и зарубежных композиторов и музыковедов. Среди них Сергей Слонимский, Владислав Успенский, Владимир Цытович, Юрий Фалик, Александр Кнайфель, Исаак Шварц, Леонид Десятников, Сергей Белимов, Стефан Драгостинов (Болгария). Сочинения Арапова широко исполнялись в СССР и за рубежом, многие из них записаны на пластинки, диски и изданы.

На протяжении 1970 — 1980-х гг Борис Александрович Арапов являлся признанным главой ленинградской композиторской школы. Его можно было видеть на премьерах новых сочинений каждого из многочисленных учеников. Исполнения же произведений Арапова были не только событиями музыкальной жизни, но праздниками того духа созидания в музыкальном творчестве, который отличает Арапова как художника.

Список сочинений Арапова достаточно объемен. Новые планы вызревали и реализовались не спеша, из-под пера мастера выходили в отточенном виде совершенные произведения. Несмотря на широкий круг жанров, представленный в творчестве Арапова, среди его сочинений мало миниатюр и мелких пьес. Замыслы композитора отличаются масштабностью.

Образ художника — патриарха невольно предполагает некий груз ортодоксальности. Это может относиться ко многим, но не к Арапову. Он всегда впереди. Острые ритмы и тембры, острые сюжеты — в этом высокий накал интеллектуальной жизни художника и человека. Уже за гранью своего шестидесятилетия в 1960-х годах создал абсолютно нонконформистский, сильный и изысканный по языку камерный музыкально-сценический диптих: оперу-новеллу «Дождь» по рассказу Сомерсета Моэма(1967) и двухактный балет «Портрет Дориана Грея» по Оскару Уайльду (1971). Характеристики отдельных персонажей, сценические ситуации, психологические и пейзажные зарисовки — все это выполнено лаконично и стремительно, образно и емко — по-настоящему симфонично; основано на красивом и запоминающемся материале.

Скрипичный(1964), Концерт для большого симфонического оркестра и Концерт для скрипки, фортепиано и ударных с камерным оркестром памяти И.Ф. Стравинского(1973). Написанные в течение десятилетия, как бы обрамляя собой камерно-сценический диптих, они и связаны с ним образно-стилистическими нитями. Инструментальный концерт, предполагающий персонификацию инструментов-действующих лиц, дает композитору простор для яркой театрализации симфонического действия. Музыку его концертов (кстати как и Пятой симфонии, написанной в 1981 году) можно «материализовать» остро сюжетным сценическим действием или кинодействием. В то же время музыка «Дождя» и «Портрета Дориана Грея» не потеряет в своей законченности и самостоятельности в отрыве от сцены в чисто симфоническом изложении (что подтверждается Хореографической поэмой по мотивам романа О,Уайльда «Портрет Дориана Грея».

Обращение к евангельским текстам всегда было знаменательным для художника. Глубоким смыслом наполнено и общение с текстами Евангелия Арапова. Одна из существенных черт личности композитора – его способность остро сопереживать, ощущать боль своего времени. Именно этой глубокой внутренней потребностью запечатлеть потрясшую художника картину жесткого духовного разлома, исказившего судьбы человечества в последние десятилетия XX века вызвано создание «Музыки для виолончели, струнного оркестра. Фортепиано и ударных инструментов»(Откровение Иоанна Богослова). Художественный мир этого произведения открывает перед слушателями полное трагизма столкновение пророчеств Иоанна Богослова («се , гряду скоро , и возмездие Мое со Мной -22, 12) с фатальной хроникой нашего времени.